- L' Histoire des Nombres -

Table des Matières :

• Chronologie

• Histoire des nombres

• Les Numérotations Figurées.

• Les numérations écrites.

• La base.

• Cas intéressant, le Zéro

Chronologie

L'humanité a mis des millénaires pour passer de la quantité aux nombres.
L'idée de nombre est l'aboutissement d'un long travail d'abstraction de la pensée.

Histoire des nombres

Les marques numériques les plus anciennes dates des premières civilisation du Paléolithique (30 000 ans environ av. J.-C.).
Le hommes, qui durent apprendre à conserver les nombres, avaient à leur disposition deux supports privilégiés, les os et le bois.
Pour mémoriser combien il y avait d'éléments dans un ensemble de choses (bêtes, hommes ou objets), les hommes du Paléolithique faisaient une marque (souvent une entaille) sur le support choisi.
Ainsi, des "os numériques" de près de 30 000 ans ont été retrouvé.

Pour assurer cette fonction de mémorisation de la quantité, l'homme, hormis l'os, le bois ou la pierre, a aussi utilisé son propre corps (doigts, orteils, bras, jambes, articulations...).
De nombreuses civilisation ont ainsi développé de complexes "cartographie corporelles numériques" accompagnées de grammaires gestuelles.
Le calcul digital permettait d'ailleurs au XVIe siècle, en chine de dépasser le milliard !    

Bois de renne entaillé datant du Paléolithique (15 000 ans av.J.-C.)

Document tiré de la Summa arithmética de Luca pacioli Calcul digital du Haut Moyen Age.

Les Numérotations Figurées.

Celle-ci font ensuite leur apparition.
Chaque nombre est représenté par un signe physique.
Des marques sur un support "en dur" ou bien, des objets (cailloux, perles, coquillages, nœud, ficelles..) représentent donc des nombres et toutes sortes de dispositifs matériels ont été mis au point : calculi, tables à compter, "planches à poussière", abaques, bouliers, cordelettes à nœuds (présentes dans la Perse de Darius au 5^ème siècle av. J.-C.).

C'est en Mésopotamie et dans d'autres lieux du Moyen Orient (vers -8 000) qu'apparaissent les calculi.
Dans la pratique, chaque caillou vaut "un" et pour des raisons de commodité évidente, on eut l'idée de remplacer un tas par un seul caillou de nature différente, par sa couleur ou par sa forme.
On retrouve d'ailleurs en Mésopotamie chez les sumériens des objets fabriqués ("pierres d'argile"), les calculi (calculus, "caillou" en latin), dès la moitié du 4ème millénaire av J.-C.

Dans la numérotation sumérienne, qui est de base 60, le petit cône vaut 1, la bille 10, le grand cône 60, le grand cône perforé 3600 et la sphère perforée 36 000.

Tous ces dispositifs matériels souffrent d'une grande faiblesse, ils sont impuissant à garder trace du passé car chaque étape du calcul supprime les précédentes

Les numérations écrites.

A Sumer, vers 3 300 av. J.-C., en Mésopotamie est née l'écriture.
Elle aurait été élaborée pour la gestion de l'empire, terres, troupeaux, hommes, grains...

La première numérotation écrite est sumérienne.
Dans les premières tablettes d'argile (qui nous ont révélé l'écriture), apparaissent des nombres.
Numération écrite et écriture semblent être contemporaines.

A gauche, une tablette d'argile (2 400 ans av. J.-C.) en écriture cunéiforme où figurent clous et chevrons qui serons les chiffres de cette numération.
A droite, une table de multiplication par 25, provenant de Suse et conservée au musée du Louvre (datant de -2 000 environ)

L' établissement d'une comptabilité, devenue de plus en plus complexe, a nécessité un enregistrement des comptes.
Ainsi serait née la première numérotation écrite (qui est sumérienne).

Les chiffres sont le plus souvent représentés par des symboles particuliers ("la fleur de lotus" par exemple en Égypte) mais quelques civilisations choisissent de ne pas en créer (la numérotation écrite hébraïque par exemple ou la grecque -l'alpha est 1, bêta 2..- ).

Les règles de construction des numérotation écrite sont simple :

Il faut permettre une lecture sans ambiguïté, une même écriture ne devant pas représenter deux nombres différents.
Il faut représenter un maximum de nombres avec un minimum de symboles.

La base.

C'est l'usage d'une base qui permettra de répondre au mieux aux contraintes posées.
Au lieu de compter uniquement par unités, on compte "par paquets".

La plus fréquente est la base décimale (10), mais on trouve également des bases sexagésimale (60), utilisée par les Sumériens, vicésimale (20), utilisée par les Mayas, duodécimale (12), quinaire (5), utilisée aussi par les Mayas et binaire (2).

Chez les Mayas,  le moyen le plus simple pour représenter les nombres était un système utilisant, le point valait 1, la barre 5 et un zéro.
On les trouve sur le codex de Dresde.

Extrait du codex de Mendoza (16e siècle).
Ce doc. chiffre le tribut en nature payé par 7 villes aztèques aux seigneurs espagnols de Mexico.
Dans leur base 20 de type additif, l'unité est représentée par un point, la vingtaine par une hache, le nombre 400=20*20 par une plume.

Les différents types de numération

Ainsi, chaque numérotation va devoir de donner ses différentes unités (unité de premier ordre et puissances successives de la base).

Les Égyptiens, les Chinois et les Grecs se sont successivement offert 3 numérations, les Mayas 2 et les Indiens 4.
Les Aztèques, Éthiopiens, Hébreux et  Romains ont eu les leurs.

On classe les différentes numérations en 3 groupes : (selon les opérations arithmétiques utilisées pour composer les nombres à partir des chiffres).

1. numérations additives

2. numérations hybrides

3. numérations de position

• Numérations additives

Dans ces numérations, l'addition est la seule opération utilisée. La valeur d'un nombre est la somme des valeurs des symboles qui le composent.

Par exemple, dans la numération romaine, le I vaut "un" où qu'il se trouve dans l'écriture.
"mille un" s'écrit MI et "cent" s'écrit C.

La longueur du nom est donc sans rapport avec sa valeur. (ex MI "mille un" et DCCCLXXXVIII "888").

Remarque : La numération romaine n'est pas alphabétique.
Les 7 symboles numériques - I, V, X, L, C, D, M- ne sont pas des lettres de l'alphabet latin.
Ce n'est qu'après un longue évolution qu'ils ont été assimilés à des signes alphabétiques.

Un problème évident se pose avec ce type de numération, comment écrire des nombres très grands ?

• Numérations hybrides

Ces numérations utilisent conjointement l'addition et la multiplication.

        "deux cents" est conçu comme "deux" fois "cents" et représenté par "deux" suivi de "cent"
Mais chaque puissance de la base est représentée par un symbole différent, ce qui rend évident la faiblesse de ce principe pour représenter des nombres très grands.

• Numérations de positions

  Le principe de cette numération (qui est la notre maintenant) repose sur le fait que la valeur d'un chiffre n'est pas constante : elle varie en fonction de sa position dans l'écriture du nombre.
  (123=1*100 + 2*10 + 3       soit          1*10²+2*10¹+3*10⁰   en base 10)

  Ce principe de position a d'abord été mis en œuvre dans les numération figurées, les indiens s'en sont inspirés par la suite.

  Ces numérations nécessitent de par leur structure, l'existence du "zéro" qui marque l'absence de dizaine par exemple. (103=1*10²+0*10¹+3*10⁰ ).

  Hormis la numération indienne qui est développée ci-après, il y eut à trois reprises, et de façon indépendante, création d'une numérotation de position.

  • A Babylone, vers - 1 800.

  • En Chine, au cours du 1er siècle avant notre ère.

  • Dans l'empire Maya, entre le 5e et le 9e siècle.

  
  Ces 3 numérations souffrent de la même faiblesse, la non indépendance des représentations des unités. Le "2" par exemple, n'est pas un chiffre spécifique, mais une itération du "1".

• La numération indienne de position

• L'invention de cette numération dans l'Inde au 5e siècle

Les chiffres de "un" à "neuf" ont été inventés en Inde avant notre ère.
Ils apparaissent dans des inscriptions de Nana Ghât au 3e siècle av.J.-C., mais le principe de position n'y est pas appliqué.

La numération de position avec un zéro (qui était un point à l'origine), a été inventé au cours du 5e siècle.
Dans un traité de cosmologie écrit en sanscrit en 458, le "LOKAVIBHAGA", "les parties de l'univers", on voit apparaître le nombre 14 236 713 écrit en toute lettres ( "un" "quatre" ...). dans ce texte, on trouve aussi le mot "sunya", "le vide", qui représente le zéro.

C'est à ce jour le document le plus ancien faisant référence de cette numération.

• Propagation de cette numération

En 773, arriva à Bagdad une ambassade indienne avec un présent pour le calife MANSOUR et les savants arabes qui l'entouraient : le calcul et les chiffres.

Muhammad ibn Musa al-Khuwârizmi a écrit le premier ouvrage en langue arabe présentant la numération indienne de position au 9e siècle, "livre de l'addition et de la soustraction d'après le calcul des Indiens".
C'est par cet ouvrage que le calcul indien pénétra dans l'Occident chrétien.
Maintes fois traduit en latin à partir du 12e siècle, sa célébrité fût telle que ce calcul fut nommé algorisme, d'Algorismus latinisation d'al-Khuwârizmi.

Au Xe siècle, le moine français Gerbert d'AURILLAC apprit la nouvelle numération chez les Maures d'Espagne et, grâce aux chaires qu'il occupa dans les établissement religieux d'Europe, il put introduire le nouveau système en occident.
En 999, il fut élu pape sous le nom de SYLVESTRE II, ce qui lui conféra l'autorité nécessaire pour implanter la numération indo-arabe.
Certes une évolution s'ensuivit dans la comptabilité, les marchands ayant rapidement adopté les nouveaux chiffres, mais les mathématiques européennes n'y trouvèrent pas un sang neuf !

• Abacistes contre algoristes et l'utilisation du zéro

Durant le haut Moyen Age, en Occident chrétien, les opération s' effectuaient sur des abaques (sortes de tables à colonnes), les chiffres étant inscrits sur des jetons, les apices.

Raoul de Laon, un abaciste eut l'idée de placer dans les colonnes vides un caractères nommé sipos, "jeton", qui fût ensuite remplacé par le signe "0".

L'origine de "zéro" : Çunya signifie vide en sanskrit, le zéro est représenté par un petit rond (Pourquoi un rond ? On ne le sait pas vraiment).
Traduit en arabe, çunya devient sifr qui, traduit en italien, donna zéfiro.
Et de zéfiro à zéro....

 

Par la suite, ces abaques furent remplacées, non sans mal, par des "planches à poussières" utilisées par les algoristes, adeptes et utilisateurs du nouveau calcul venu du monde arabe.
On se trouve alors en présence d'un veto ecclésiastique et d'une levé de boucliers de la part de la caste des calculateurs professionnels.
Veto qui sera maintenu, en divers endroits, jusqu'au 15e siècle (soit 5 siècles après Gerbert d'AURILLAC !!! c.f. ci-avant).
L'église était contre une démocratisation du calcul qui entraînerait sûrement pour elle la perte de son monopole en matière d'enseignement, et par conséquent, une perte de pouvoir.

Les chiffres arabes demeurent donc, pour un temps, frappés d'interdit

• La graphie des chiffres que nous utilisons.

Les chiffres de "un" à "neuf" ont été inventés en Inde avant notre ère.
Ils apparaissent dans des inscriptions de Nana Ghât au 3e siècle av.J.-C., mais le principe de position n'y est pas appliqué.

La graphie de "nos" chiffres vient des Arabes occidentaux de l'Espagne maure.
On les appelle les chiffres du ghobar.
Le chemin emprunté fût long et dura environ 800 ans !: Inde-Moyen-Orient arabe-Afrique du Nord-Espagne maure.

En hébreu ancien, les nombres s'écrivaient en toutes lettres.
Quelque temps après avoir été exilés à Babylone, les Juifs adoptèrent dans une certaine mesure l'habitude d'utiliser des lettres de leur alphabet pour représenter les nombres.
Toutefois, cet usage n'apparaît pas même dans les manuscrits de la Bible en hébreu postérieurs à l'Exil.
Un des plus anciens spécimens d'écriture hébraïque existants est l'inscription trouvée dans le tunnel adducteur de Siloam (qui date probablement du règne de Hizqiya [745-717 av. n. è.]), inscription dans laquelle les mesures sont écrites en toutes lettres.
L'écriture des nombres en toutes lettres contribue à l'exactitude et à la fiabilité des manuscrits des Écritures hébraïques, qui ont été recopiés de nombreuses fois, car en général on risque davantage de faire erreur sur un nombre que sur un mot.

En hébreu, les nombres au-dessus de dix sont des combinaisons de plusieurs mots, par exemple 12 (deux et dix) (Gn 14:4), sauf que 20 est le pluriel de dix, 30 est un mot pluriel dérivé de trois, 40 un mot pluriel dérivé de quatre, etc.

Cent est un mot à part et 200 le duel de celui-ci.
Les autres “ cents ”, tels que 300, sont composés de deux mots.
Le nombre le plus élevé exprimé par un seul mot hébreu est 20 000, duel de 10 000 (une myriade).
Au-dessus, les nombres sont une combinaison de plusieurs mots.
Par exemple, en 1 Chroniques 5:18, le nombre 44 760 s'écrit littéralement : quarante et quatre mille et sept de cents et soixante.
Un million s'écrit mille milliers (2Ch 14:9).
La famille de Rébecca la bénit par ces mots : “ Ô toi, notre sœur, puisses-tu devenir des milliers de fois dix mille [littéralement : “ des milliers de myriades ”]. ” (La semence de Rébecca se compta effectivement par millions.) (Gn 24:55, 60).
Dans la vision de Daniel, Yahwah ( hébreu Yehwah) apparaît avec “ dix mille fois dix mille [littéralement : “ une myriade de myriades ”] ” qui se tiennent devant lui (Dn 7:10).

Parfois, les nombres sont approximatifs, arrondis, comme en Psaume 90:10, où il est question de la limite d'âge de l'homme, et peut-être aussi en 1 Rois 19:18 (7 000 hommes qui n'avaient pas plié le genou devant Baal) et en 2 Chroniques 14:9 (le million d'Éthiopiens vaincus par Asa).
Dans les Écritures grecques chrétiennes, les nombres sont généralement exprimés en mots.
Le nombre de la “ bête sauvage ” est en toutes lettres dans le Sinaiticus et l'Alexandrinus. - Ré 13:18.

Dans ce manuscrit indien du 12e siècle (cliquer sur l'image pour l' agrandir) figure le nombre 109 305.
Le zéro est représenté par un point, le "bindu".

Cas intéressant, le Zéro Tout d'abord citons ces définitions d'Euclide (4e-3e siècle av.J.-C.) : "Est unité ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une" "Un nombre est la multitude composée d'unités" Pour les Grecs de l'antiquité, est UN ce qui existe. Le UN n'est pas un nombre mais ce par quoi le nombre est. Tant que le nombre était considéré comme une itération d'unités, la suite des nombres a commencé à 1. Ainsi, pour que le zéro devienne le nombre que nous connaissons aujourd'hui, il lui a fallu franchir 3 étapes : Le zéro, signe de marquage. Le zéro opérateur est un signe qui n'est pas chiffre, placé à la suite d'un nombre, il le multiplie par 10. Le zéro, chiffre. Dans les dispositifs figurés en colonnes (barres verticales tracées les unes à côtés des autres), s'appuyant sur le principe de position, il signifie une absence d'unités, de dizaines, de centaines ... Petit à petit, il devient un chiffre comme les autres. Le zéro, nombre. Un nouveau nombre demande une définition, le zéro sera défini comme le résultat de la soustraction d'un entier avec lui-même. Le premier zéro (Babylone, 3e siècle av.J.-C) Le premier zéro est babylonien, il est antérieur au 3e siècle av.J.-C. La numération que forgèrent les mathématiciens et astronomes de Babylone un peu avant l'époque du roi Hammourabi (environ 1792-1750 av.J.-C.) était une numération de position en base 60. Les scribes babyloniens n'utilisaient que deux chiffre à proprement parler : un "clou" vertical représentant l'unité et un "chevron" associé au nombre 10. (Signes dont la graphie est dite cunéiforme en raison de son aspect en forme de coins et de clous) . Les nombres de 1 à 59 étaient représentés d'une manière additive en répétant chacun de ces deux signes.   et 19 s'écrivait signifie "1" signifie "10" 1 chevron + 9 clous au-delà de 59, l'écriture devenait positionnelle. Le nombre 69 par exemple s'écrivait : 1*60+9   Ils conçurent par la suite ( au 3e siècle av.J.-C.) un signe se présentant comme un double chevron incliné. Ce signe de séparation dans l'écriture des nombres est un véritable chiffre zéro dont l'utilisation était rendue obligatoire du fait de la structure du système de numération de position. C'est le plus vieux zéro de l'histoire. En effet, il fallait par exemple pouvoir différencier : de            qui est égal à "2" qui est égal à " 1*60+1=61" Pendant très longtemps, les scribes les différencièrent en séparant nettement le premier clou du second, puis, ils introduisirent le signe ou Cependant, ce zéro n'est pas conçu par les babyloniens comme une quantité. Par exemple, dans un texte de l'époque, l'auteur ne sachant pas exprimer le résultat de la soustraction d'un nombre par lui-même, avait ainsi formulé sa conclusion : "20 moins 20......tu vois." Et dans un autre texte, on trouve par le résultat d'une distribution de grain : "le grain est épuisé".   Le zéro maya (premier millénaire de notre ère) Les savants astronomes mayas mirent au point au cours du 1er millénaire de notre ère une numération de position en base vicésimale (base 20). Les nombres sont représentés par des assemblages de points et de traits suivant une disposition verticale. Un signe graphique particulier, un ovale horizontale figurant une coquille d'escargot, un glyphe, joue le rôle de signe séparateur permettant une écriture des nombres sans ambiguïté. Le zéro indien (vers le 5e siècle de notre ère) C'est aux indiens que l'on doit d'avoir inventé le zéro "complet". Sa présence est attestée dès le 5e siècle de notre ère. Sunya c'est "le vide" en langue indienne (le sanskrit) et la première figuration du zéro fut un petit cercle. Traduit en arabe, sunya devient sifr (le vide).   Le zéro est entré en Occident au 12e siècle et diverses appellations lui furent attribuées. Celles-ci constituaient toutes des transcriptions plus ou moins latinisées du mot arabe sifr (le vide). Léonard de Pise (vers 1170-1250) utilise dans son Liber Abaci le nom de zéfirum que l'on utilisera jusqu'au 15e siècle. Après quelques modifications, ce mot aboutit à zéfiro , qui donnera zéro à partir de 1491. (Mais du mot arabe Sifr dérive également le mot chiffre.) Conjointement à la précédente transcription latine du mot arabe Sifr, on employa l'un ou l'autre des divers vocables ci-après : Sifra, Cifra, Cyfra, Tzyphra, Cifre, Cyfre, etc. Au 13e siècle, un homme qualifié en France de "Cyfre d'angorisme" (ou de "Cifre en Algorisme"), recevait une grande injure, étant ainsi traité "d'homme de rien". En Allemagne : Ziffer (chiffre) dérive aussi de Sifr mais par l'intermédiaire de la transcription Ziphra ou ziffra (pour dire zéro, on utilise le mot die null). En anglais : ciffer a longtemps signifié le zéro (aujourd'hui on emploie "zéro") tandis que pour les chiffres, on s'est servi des mots digit, figure et numeral. En portugais : cifra signifie "zéro" ou "signe de numération". En espagnol : cifra est "chiffre" et cero, "zéro"

Sources :
Denis GUEDJ (L'empire des nombres) - Découvertes Gallimard - Sciences
Denis GUEDJ (Le théorème du perroquet) - Seuil (*)